Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer - download pdf or read online

By Otto Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden können. Die vorliegende eleven. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

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4+2k . 100 10 10 100 k=0 10 Nach den S¨atzen 6 und 7 ist ∞ 63 63 ∞ 63 1 63 ∑ 104+2k = 104 ∑ (10−2)k = 104 · 1 − 10−2 = 9900 , k=0 k=0 also x= 63 855 19 8 + = = . 100 9900 9900 220 Im n¨achsten Paragraphen werden wir uns systematischer mit unendlichen Dezimalbr¨uchen besch¨aftigen. § 4 Folgen, Grenzwerte 40 Bestimmte Divergenz gegen ±∞ Definition. Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen heißt bestimmt divergent gegen +∞, wenn zu jedem K ∈ R ein N ∈ N existiert, so dass an > K f¨ur alle n N. Die Folge (an ) heißt bestimmt divergent gegen −∞, wenn die Folge (−an ) bestimmt gegen +∞ divergiert.

Eine Folge (an ), die nicht konvergiert, heißt divergent. Behandlung der Beispiele Wir untersuchen jetzt die eingangs gebrachten Beispiele von Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz. 1) Die konstante Folge (a, a, a, . ) konvergiert trivialerweise gegen a. 2) lim = 0, die Folge (1/n)n 1 ist also eine Nullfolge. Denn sei ε > 0 vorgegeben. Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein N ∈ N mit N > 1/ε. Damit ist 1 1 − 0 = < ε f¨ur alle n N . n n ¨ Ubrigens kann man sich u¨ berlegen, dass die Tatsache, dass (1/n)n 1 eine Nullfolge ist, sogar a¨ quivalent mit dem Archimedischen Axiom ist.

5), dass |x| + |y| . Ebenso ist wegen −x |x| und −y −(x + y) = −x − y |y| |x| + |y| . Zusammen genommen ergibt sich |x + y| |x| + |y|. Bemerkung. Ein K¨orper K, auf dem eine Abbildung K → R, x → |x|, definiert ist, so dass die in Satz 1 genannten Eigenschaften a), b), c) erf¨ullt sind, heißt bewerteter K¨orper. Es gibt auch nicht angeordnete bewertete K¨orper, wie den K¨orper der komplexen Zahlen, den wir in §13 untersuchen werden (dort erkl¨art sich auch der Name Dreiecks-Ungleichung). Bei der folgenden Ableitung weiterer Eigenschaften des Absolut-Betrages verwenden wir nur die Regeln a) bis c); sie sind damit in jedem bewerteten K¨orper g¨ultig.

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