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By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IR^n mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik correct sind. Der textual content wurde für die 6. Auflage grundlegend überarbeitet und die Integrationstheorie wird nun auf maßtheoretischer Grundlage aufgebaut.

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Rn Wir wollen jetzt die Additivität des Integrals auf unendliche Summen ausdehnen. Satz 6. Seien Iv E Jt't (IRn) Funktionen mit Iv ~ 0 und 00 1:= Y' ~ v= 0 Iv· 44 § 4. Integral tür halbstetige Funktionen Dann ist IEJf t (lRn ) und es gilt 00 L flv(X)dx. fl(X)dx = v=0 Beweis. Wir wählen Folgen Ivk E rcc (lRn ) mit Ivk t Iv k für -+ 00 • Indem man nötigenfalls Ivk durch sup (Ivk, 0) ersetzt, kann man annehmen, daß Ivk ~ 0 für alle v, k. Es ist dann 00 Iv = L gvk k=O mit den nicht negativen Funktionen gvo:=lvo; gvk :=fvk-fv,k-l für k~l.

Das Ellipsoid mit Halbachsen al> ... , an ist die Menge E(al, ... ,an)={ (Xl> ... )2 } a; ~l . E(al' ... , an) ist das Bild der Einheitskugel unter der linearen Abbildung (Xl> ••• ,xn ) ~(alXl> ... ,anxn )· 53 § 5. Berechnung einiger Volumina Also gilt nach Satz 2 Vol(E(cx" ... ,cxn )) = CXICX2 ... CXnTn , wobei T n das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel ist, vgl. das vorhergehende Beispiel. f(x)}. Man zeige: Voln + 1 (K) = ff(X)dnx. 2 (Volumen von Rotationskörpern). f(X)2}. Man zeige: b Vol(K) = 1T f f(X)2dx.

An ist die Menge E(al, ... ,an)={ (Xl> ... )2 } a; ~l . E(al' ... , an) ist das Bild der Einheitskugel unter der linearen Abbildung (Xl> ••• ,xn ) ~(alXl> ... ,anxn )· 53 § 5. Berechnung einiger Volumina Also gilt nach Satz 2 Vol(E(cx" ... ,cxn )) = CXICX2 ... CXnTn , wobei T n das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel ist, vgl. das vorhergehende Beispiel. f(x)}. Man zeige: Voln + 1 (K) = ff(X)dnx. 2 (Volumen von Rotationskörpern). f(X)2}. Man zeige: b Vol(K) = 1T f f(X)2dx. Z;;? I}, wobei (~ :) eine positiv-defmite Matrix ist.

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